2020版一轮复习理数通用版：高考达标检测（三十二）,,空间角3类型——线线角、线面角、二面角

　高考达标检测（三十二）

　空间角 3 类型 —— 线线角、线面角、二面角 1 ．如图，在正三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 点 中，点 D 是棱 AB 的中点，BC ＝1 ，AA 1 ＝ ＝ 3.

　(1) 求证：BC 1 ∥面 平面 A 1 DC ； (2) 求二面角 D-A 1 C-A 的正弦值． 解：(1) 证明：过点 A 作 作 AO ⊥BC 交 BC 于点 O ，过点 O 作 作 OE ⊥BC 交 交 B 1 C 1 于 于 E. 面 因为平面 ABC ⊥面 平面 CBB 1 C 1 以 ，所以 AO ⊥面 平面 CBB 1 C 1 .

　以 以 O 为坐标原点，OB ，OE ，OA 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直为 角坐标系．因为 BC ＝1 ，AA 1 ＝ ＝ 3， ， △ABC 是等边三角形，所以 O 为 为 BC 的中点． 则 则 O(0,0,0)， ，A     0 ，0， ，32， ，B     12 ，，0 ，0 ， ，C     － 12 ，，0 ，0 ， ，D     14 ，，0， ，34， ，A 1     0， ， 3， ，32，C 1     － 12 ，， 3 ，0 ，CD― ― → ＝     34 ，，0， ，34， ，A 1 C― ― → ＝     － 12 －，－ 3 ，－32， ， 面 设平面 A 1 DC 的一个法向量为 n 1 ＝ ＝(x 1 ， ，y 1 ， ，z 1 ) ， 则      n 1 ·CD― ― → ＝＝0， ，n 1 ·A 1 C― ― → ＝＝0， ，即    34 x 1 ＋34z 1 ＝ ＝0， ，－ 12 x 1 －－ 3y 1 －32z 1 ＝ ＝0.

　取 取 x 1 ＝ ＝ 3 ，得 z 1 ＝－3 ，y 1 ＝ ＝1 ， ∴面 平面 A 1 DC 的一个法向量为 n 1 ＝ ＝( 3 ，1 ，－3) ． 又∵ ∵BC 1― ― → ＝＝( －1， ， 3 ，0)， ，∴ ∴BC 1― ― → ·n1 ＝ ＝0 ， 又 又 BC 1 ⊄ ⊄面 平面 A 1 DC ， ∴BC 1 ∥面 平面 A 1 DC. (2) 设平面 ACA 1 为 的一个法向量为 n 2 ＝ ＝(x 2 ， ，y 2 ， ，z 2 ) ， ∵ ∵AA 1― ― → ＝＝(0， ， 3 ，0) ， 则      n 2 ·AA 1― ― → ＝＝0， ，n 2 ·A 1 C― ― → ＝＝0， ，即      3y 2 ＝ ＝0， ，－ 12 x 2 －－ 3y 2 －32z 2 ＝ ＝0， ，

　 取 取 x 2 ＝ ＝ 3 ，得 y 2 ＝ ＝0 ，z 2 ＝－1. ∴面 平面 ACA 1 为 的一个法向量为 n 2 ＝ ＝( 3 ，0 ，－1) ． 则 则 c cos 〈n 1 ， ，n 2 〉＝613 ×2 ＝ 3 1313， ， 角 设二面角 D-A 1 C-A 的大小为 θ ， ∴ ∴c cos θ＝ ＝ 3 1313， ，sin θ＝ ＝ 2 1313， ， 角 故二面角 D-A 1 C-A 的正弦值为 2 1313.

　2 ．(2017· 全国卷Ⅱ Ⅱ) 如图，四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 为等边面 三角形且垂直于底面 ABCD， ，AB ＝BC＝ ＝ 12 AD，，∠ ∠BAD＝ ＝∠ ∠ABC ＝90°， ，E 是 是 PD 的中点． (1) 证明：直线 CE∥ ∥面 平面 PAB ； (2)点 点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 45° ，求二面角 M-AB-D 的余弦值． 解：(1) 证明：取 PA 的中点 F ，连接 EF ，BF. 为 因为 E 是 是 PD 的中点，所以 EF ∥AD ，EF ＝ 12 AD. 由 ∠BAD ＝ ∠ABC ＝90° ，得 BC ∥AD ， 又 又 BC ＝ 12 AD ，所以 EF 綊 綊 BC ， 形 所以四边形 BCEF 是平行四边形，CE ∥BF ， 又 又 CE⊄ ⊄ 平面 PAB ，BF⊂ ⊂面 平面 PAB ，

　故 故 CE ∥面 平面 PAB. (2) 由已知得 BA ⊥AD ，以 A 为坐标原点，AB― ― → 为的方向为 x 轴正方向，|AB― ― → |系为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz， ，则 则 A(0,0,0) ，B(1 ，0,0) ，C(1,1,0) ，P(0 ，1， ， 3) ，PC― ― → ＝＝(1,0－ ，－ 3)， ，AB― ― → ＝＝(1,0,0) ． 设 设 M(x ，y ，z)(0<x<1) ， 则 则BM― ― → ＝＝(x －1 ，y ，z) ，PM― ― → ＝＝(x ，y －1 ，z－ － 3) ． 为 因为 BM 与底面 ABCD 所成的角为 45° ， 而 而 n ＝(0,0,1) 是底面 ABCD 的法向量，

　 所以|c cos 〈BM― ― → ，n 〉| ＝sin 45°， ，|z| x －1  2 ＋ ＋y 2 ＋ ＋z 2 ＝22， ， 即 即(x －1) 2 ＋y 2 － －z 2 ＝ ＝0.

　 ① 又 又 M 在棱 PC 上，设PM― ― → ＝λ PC― ― → ，， 则 则 x ＝λ ，y ＝1 ，z＝ ＝ 3－ － 3λ.

　② 由 ①② 解得    x ＝1＋ ＋22，y ＝1， ，z ＝－62( 舍去) ，或    x ＝1－ －22，y ＝1， ，z ＝62， 以 所以 M     1－ －22， ，1， ，62，从而AM― ― → ＝     1－ －22， ，1， ，62. 设 设 m ＝(x 0 ，y 0 ， ，z 0 ) 是平面 ABM 的法向量， 则      m·AM― ― → ＝＝0， ，m·AB― ― → ＝＝0， ，即       2－ － 2 x 0 ＋ ＋2y 0 ＋ ＋ 6z 0 ＝ ＝0， ，x 0 ＝ ＝0， ， 取 所以可取 m ＝(0－ ，－ 6 ，2) ． 是 于是 c cos 〈m ，n 〉＝m m·n n|m m|| n| ＝105. 角 由图知二面角 M-AB-D 为锐角， 角 因此二面角 M-AB-D 的余弦值为105. 3. 如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA⊥ ⊥面 底面 ABC， ，∠ ∠BAC ＝90°.点 点 D， ，E ，N 分别为棱 PA ，PC ，BC 的中点，M 是线段 AD 的中点，PA ＝AC＝ ＝4 ，AB ＝2. (1) 求证：MN∥ ∥面 平面 BDE ； (2) 求二面角 C-EM-N 的正弦值； ； (3) 已知点 H 在棱 PA 上，且直线 NH 与直线 BE 所成角的余弦值为721 段，求线段 AH 的 的长． 解：

　由题意知，AB ，AC ，AP 两两垂直，故以 A 为坐标原点，以 分别以 AB― ― → ，，AC― ― → ，， AP― ― → 为方向为 x 轴、y 轴、z 轴正方向建立如图所得 示的空间直角坐标系．依题意可得 A(0 ，0,0) ，B(2 ，0,0) ，C(0,4,0)， ，P(0,0,4) ，D(0,0,2) ，E(0,2,2) ，M(0,0,1) ，N(1,2,0) ． (1) 证明：DE― ― → ＝＝(0,2,0) ，DB― ― → ＝＝(2,0 ，－2) ．

　 设 设 n ＝(x ，y ，z) 为平面 BDE 的法向量， 则      n·DE― ― → ＝＝0， ，n·DB― ― → ＝＝0， ，即       2y ＝0， ，2x －2z ＝0. 取 不妨取 z ＝1 ，可得 n ＝(1,0,1) ． 又 又MN― ― → ＝＝(1,2 ，－1) ，可得MN― ― → ·n ＝0. 为 因为 MN⊄ ⊄ 平面 BDE ，所以 MN ∥面 平面 BDE. (2) 易知 n 1 ＝ ＝(1,0,0) 为平面 CEM 的一个法向量． 设 设 n 2 ＝ ＝(x 1 ， ，y 1 ， ，z 1 ) 为平面 EMN 的法向量， 又 又EM― ― → ＝＝(0 ，－2 ，－1) ，MN― ― → ＝＝(1,2 ，－1) ， 则      n 2 ·EM― ― → ＝＝0， ，n 2 ·MN― ― → ＝＝0， ，即       － －2y 1 － －z 1 ＝ ＝0， ，x 1 ＋ ＋2y 1 － －z 1 ＝ ＝0. 取 不妨取 y 1 ＝ ＝1 ，可得 n 2 ＝ ＝( －4,1 ，－2) ． 有 因此有 c cos 〈n 1 ， ，n 2 〉＝n 1 ·n 2|n 1 ||n 2 | ＝－421 ，， 是 于是 sin 〈n 1 ， ，n 2 〉＝10521. 角 所以二面角 C-EM-N 的正弦值为10521. (3) 依题意，设 AH ＝h(0 ≤h ≤4) ，则 H(0,0 ，h) ， 进而可得NH― ― → ＝＝( －1 ，－2 ，h) ， BE― ― → ＝＝( －2,2,2) ． 由已知，得|cos 〈NH― ― → ，， BE― ― → 〉〉|＝ ＝ |NH― ― → ·BE ― ― → ||NH― ― → ||BE ― ― → |

　＝|2h －2|h 2 ＋ ＋5 ×2 3 ＝721 ，， 得 整理得 10h 2 － －21h ＋8 ＝0 ，解得 h ＝ 85 或或 h ＝ 12 . 段 所以线段 AH 的长为 85 或 12 . 4.锥 如图，在四棱锥 P-ABCD 面 中，侧面 PAD⊥ ⊥面 底面 ABCD ，底面ABCD 是平行四边形， ∠ABC ＝45° ，AD ＝AP ＝2 ，AB ＝DP ＝2 2， ，E 为 为 CD 的中点，点 F 在线段 PB 上． (1) 求证：AD ⊥PC ； (2) 试确定点 F 的位置，使得直线 EF 与平面 PDC 所成的角和直线 EF 与平面 ABCD 所 所

　 成的角相等． 解：(1) 证明：在平行四边形 ABCD 中，连接 AC ， 为 因为 AB ＝2 2 ，BC ＝2， ， ∠ABC ＝45° ， 得 由余弦定理得 AC 2 ＝ ＝8 ＋4 －2 ×2 2 ×2 ×cos 45° ＝4 ， 得 解得 AC ＝2 ，所以 AC 2 ＋BC 2 ＝AB 2 ， ， 所以 ∠ACB ＝90° ，即 BC ⊥AC. 又 又 AD ∥BC ，所以 AD ⊥AC. 又 又 AD ＝AP ＝2 ，DP ＝2 2 ， 以 所以 AD 2 ＋ ＋AP 2 ＝DP 2 以 ，所以 AP ⊥AD ， 又 又 AP ∩AC ＝A ，所以 AD ⊥面 平面 PAC ，所以 AD ⊥PC.

　(2) 因为侧面 PAD ⊥面 底面 ABCD ，PA ⊥AD ，所以 PA ⊥面 底面 ABCD ，线 所以直线 AC ，AD ，AP 两两互相垂直，以 A 为坐标原点，AC ，AD ，AP为 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz， ， 则 则 D( －2,0,0) ，C(0,2,0) ，B(2,2,0) ，E( －1,1,0) ，P(0,0,2) ， 以 所以 PC― ― → ＝＝(0,2 ，－2) ， PD― ― → ＝＝( －2,0 ，－2) ， PB― ― → ＝＝(2,2 ，－2) ，设 PFPB ＝＝λ(λ ∈[0,1]) ， 则 则 PF― ― → ＝＝(2λ ，2λ ，－2λ) ，F(2λ ，2λ ，－2λ ＋2) ， 以 所以 EF― ― → ＝＝(2λ ＋1,2λ －1 ，－2λ ＋2) ， 面 易得平面 ABCD 的法向量 m ＝(0,0,1) ． 面 设平面 PDC 的法向量为 n ＝(x ，y ，z) ， 则      n·PC― ― → ＝＝0， ，n·PD― ― → ＝＝0， ，即       2y －2z ＝0， ，－ －2x －2z ＝0， ， 令 令 x ＝1 ，得 n ＝(1 ，－1 ，－1) ． 线 因为直线 EF 与平面 PDC 所成的角和直线 EF 与平面 ABCD 所成的角相等， 所以|c cos 〈 EF― ― → ，m 〉| ＝|c cos 〈 EF― ― → ，，n 〉| ， 即| EF― ― → ·m|| EF― ― → |·|m| ＝| EF― ― → ·n|| EF― ― → |·|n| ，所以| －2λ ＋2|＝ ＝     2λ3， ， 即 即 3|λ －1| ＝|λ| ，解得 λ ＝ 3－－ 32，所以 PFPB ＝ 3－－ 32.

　 某工厂欲加工一件艺术 品，需要用到三棱锥形状的坯材，工人将如图所示的长方体ABCD-EFQH 材料切割成三棱锥 H-ACF.

　(1) 若点 M ，N ，K 分别是棱 HA ，HC ，HF 的中点，点 G 是 NK 上的任意一点，求证：MG∥ ∥面 平面 ACF ； (2) 已知原长方体材料中，AB ＝2 ，AD ＝3 ，DH ＝1 ，根据艺术品加工需要，工程师必须出 求出该三棱锥的高；甲工程师先求出 AH 所在直线与平面 ACF 所成的角 θ式 ，再根据公式 h＝ ＝AH·sin θ 求三棱锥 H-ACF 的高 h. 请你根据甲工程师的思路，求该三棱锥的高． 解：(1) 证明：

　∵HM ＝MA ，HN ＝NC ，HK ＝KF ， ∴ ∴MK ∥AF ，MN ∥AC. ∵ ∵MK⊄ ⊄ 平面 ACF ，AF⊂ ⊂面 平面 ACF ， ∴ ∴MK ∥面 平面 ACF ，同理可证 MN ∥面 平面 ACF ， ∵ ∵MK ∩MN ＝M ，MN⊂ ⊂面 平面 MNK ，MK⊂ ⊂面 平面 MNK ， ∴面 平面 MNK ∥面 平面 ACF. 又 又 MG⊂ ⊂面 平面 MNK ， ∴MG ∥面 平面 ACF.

　(2) 以 D 为坐标原点，DA ，DC ，DH 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 D -xyz.则 则 A(3 ，0,0) ，C(0,2,0)， ，F(3,2,1) ，H(0,0 ，1) ，AC― ― → ＝＝( －3,2,0) ，AF― ― → ＝＝(0,2,1) ，AH― ― → ＝＝( －3,0,1)， ， 面 设平面 ACF 的一个法向量 n ＝(x ，y ，z) ， 则      n·AC― ― → ＝＝0， ，n·AF― ― → ＝＝0， ，即       － －3x ＋2y ＝0， ，2y ＋z ＝0， ，令 令 y ＝3 ，则 n ＝(2,3 ，－6) ， ∴ ∴sin θ ＝|c cos 〈AH― ― → ，，n 〉|＝ ＝ |AH― ― → ·n||AH― ― → ||n| ＝127 10 ＝ 6 1035， ， ∴锥 三棱锥 H-ACF 的高为 AH·sin θ＝ ＝ 10× × 6 1035＝ 127.