信号与系统习题(4)附答案.doc

　习题四

　一、基本题 1．若 f（t）是已经录制声音的磁带，则 f（2t）、f（t/2）、2 f（t）分别表示什么操作？（例如：f（t- t 0 ）表示将此磁带延时 t 0 时间后播放。）

　2．求卷积2e ( 3)* ( 5)tt t    。

　3 ． 某 离 散 系 统 的 零 状 态 响 应 ( ) y k 与 激 励 ( ) f k 之 间 的 关 系 为( ) y k =02 ( )iif k i， 求系统的单位序列响应 ( ) h k 。

　4．已知输入信号 f（t）=2 420cos100 cos (10 ) t t ，系统的传输函数为240(j ) ( ) H G    。求零状态响应 ( ) y t 。

　5．已知2 2( ) e ( )tf t t t  ，求 f（t）的象函数 ( ) F s 和 ( )d f t t。

　6．已知序列 ( ) f k 的象函数23( )2 5 2zF zz z ，试指出 ( ) F z 所有可能的原序列，并指明收敛域。

　7．一个理想滤波器的频率响应如下图 a 所示，其相频特性为 ( ) 0    ，若输入信号为图 b 的锯齿波，求输出信号 ( ) y t 。

　4π (j ) H  024π 1 ( ) f tt 012 2  1( ) 0   

　（a）

　 （b）

　8．信号 ( ) (100 ) f t Sa t  被抽样，求奈奎斯特频率Nf 。

　二、已知因果系统的差分方程为 7 1 5( ) ( 1) ( 2) 3 ( ) ( 1)12 12 6y k y k y k f k f k       

　（1）求 ( ) h k ； （2）若 ( 1) 1, ( 2) 0 y y     ， ( ) ( ) f k k   ，求其零输入响应、零状态响应和全响应。

　 三、已知某连续时间全通 LTI 系统的系统函数为 1( )1sH ss，系统输出为2( ) e ( )ty t t  。

　 （1）求输入 ( ) f t ； （2）系统是否因果、稳定？并确定其收敛域？ （3）画出该系统的系统框图。

　 四、如图所示 LTI 因果连续系统框图，已知系统具有一定的初始储能，输入( ) ( ) f t t   时，系统的全响应为3( ) (1 e e ) ( )t ty t t    

　（1）确定图中 a、b 和 c 的数值，并判断此系统是否稳定。

　（2）求系统的零输入响应 ( )ziy t 。

　) (s F ( )zsY s abc11s 1s  五、已知系统在零输入条件下的状态方程为 ( ) ( ) x t Ax t  ，当2(0 )1x    时，零输入响应2e( ) ( )ettx t t    ；当1(0 )1x    时，零输入响应e 2 e( ) ( )e et tt ttx t tt      。求e At 和 A。

　习题四答案

　一、基本题 1． f（2t）表示将此磁带以 2 倍速度加快播放；

　f（t/2）表示将此磁带放音速度降低一半播放；

　2 f（t）将此磁带音量放大一倍播放。

　2．2 6 2( 3)( 3)* ( 5) ( 3)* ( 5)t te t t e e t t          

　 6 26 26 26 2( 2)[ ( )* ( 3)]*[ ( )* ( 5)]( )* ( )* ( 2)0.5(1 ) ( )* ( 2)0.5 [1 ] ( 2)tttte e t t t te e t t te e t te e t                3．0 0 0( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( )i k k ki i ih k k i k i k i k                

　4．2 4( ) 20cos100 cos (10 ) 10cos100 5[cos20100 19900 ] f t t t t t t    

　 ( ) 10 [ ( 100) ( 100)] 5 [ ( 20100) ( 20100)( 19900) ( 19900)]F jw w w w ww w                

　( ) ( ) ( ) 10 [ ( 100) ( 100)] Y jw H jw F jw w w        

　 ( ) [10cos(100 )] ( )zsy t t t  

　5．1( ) ts  ，利用 S 域微分性质，得22 22 31 2( ) ( 1) ( )dt tds S S   

　故由频移特性，得32( )( 2)F ss。

　由时域积分特性，31 1( ) ( )( 2)tf d F ss s s   利用终值定理，得：

　01( ) lim ( ) lim ( )4tt sf d f d F s           6． ( )2 1/2z zF zz z  ，

　 （1）

　( ) f k 是因果序列，1( ) [(2) ( ) ] ( )2k kf k k    ， 2 z  ；

　（2）

　( ) f k 是反因果序列，1( ) [ (2) ( ) ] ( 1)2k kf k k       ， 0.5 z 

　 （3）

　( ) f k 是双边序列，1( ) (2) ( 1) ( ) ( )2k kf k k k        ， 0.5 2 z  

　7． 解：

　( ) f t 付立叶级数的系数：

　120 01, 012( )2Tjn t jn tnnF f t e dt te dtj Tnn       ， 为其它整数 则输出信号 ( ) y t 的付立叶级数的系数为：

　1 , 0( ) ( 2 ) , 120 ,n n nnjY F H jn F H jn nn      其它整数 故输出信号2 21( ) 1 1 sin(2 )2 2jn t j t j tnnj jy t Y e e e t         

　8．因有 ( ) ( )2wG t Sa  ，取 1002ww ，则200 ( )200 (100 ) G t Sa w  ， 由对称性，200 2001(100 ) 2 ( ) ( )200 100Sa t G w G w   

　故，信号的频谱宽度为 100rad/s，或 50  Hz。

　奈奎斯特频率为 100 31.83Hz

　 二、 解：（1）2( )1 13 4z zH zz z  

　 13z 

　 1 1( ) 23 4k kh k k               

　 （2）

　( ) ( ) f k k  

　 1 1( ) 23 4k kzsy k k                 1 21 1( )3 4k kziy k c c k               

　 4 1 3 1( )3 3 4 4k kziy k k               

　 4 1 3 1( )3 3 4 4k kziy k k                 10 1 1 1( ) ( ) ( )3 3 4 4k kzi zsy k y k y k k                 

　三、 解：（1）1 2( )3 3( )( ) 2 1Y sF sH s s s   

　  2 Re 1 s   

　2 21 2( ) ( ) ( )3 3t tf t e t e t     

　 （2）

　  Re 1 s 

　 因果 稳定

　 （3）

　) (t f ) (t y   1  1  1/s

　四、

　（1）确定图中 a、b 和 c 的数值，并判断此系统是否稳定。

　假设左边加法器的输出为 ( ) X s ，则：

　1 2( ) ( ) ( ) ( ) X s F s aX s S bX s S   

　2( ) ( ) ( )ZSY s X s cX s S 

　因此，系统函数

　2 21 2 21( )1cs s cH sas bs s as b      

　 根据已知的全响应表达式和输入信号形式，判定本系统的两个特征根为 -1 和-3，根据 ( ) H s 分母多项式写出系统的特征方程式为：

　2 2( 1)( 3) 4 3 a b               ， 比较系数得：

　4 a ， 3 b 。

　21( ) ( ) ( )( 1)( 3)ZSs cY s F s H ss s s   强迫相应的象函数是 ( )ZSY s 部分分式展开项中对应 ( ) F s 极点的展开相，本题为3( ) ( ) ( )3P pc cY s y t ts   

　 观察全响应的形式，可知 ( ) ( )py t t   ，所以得 c=3。

　因此，系统函数

　2 223 3( )4 3 ( 1)( 3)s sH ss s s s      由上式可知系统函数的收敛域为 [ ] 1eR s   ，极点全部在左半开平面，故系统稳定。

　（2）求系统的零输入响应 ( )ziy t

　21 3 1 2 2( )( 1)( 3) 1 3ZSsY ss s s s s s      

　3( ) (1 2 2 ) ( )t tzsy t e e t    

　故得零状态响应为：

　3( ) ( ) ( ) ( ) ( )t tzi zsy t y t y t e e t     

　 五、

　因有 ( ) (0 )Atx t e x ，故有 2 21tAtteee      

　 2 11t tAtt te teee te          合并得：

　2 2 2 11 1t t tAtt t te e teee e te               ， 得Ate =12 2 2 11 1t t tt t te e tee e te              =2 42t t tt t te te tete e te           

　故得：A=0 02 2 4 4 3 4| |1 12 2t t t t tAtt tt t t t te e te te ededtte e e e te                              